Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+5}$（n∈N^*），求通項a_n．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+5}$（n∈N^*），兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2{a}_{n}}$，變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$\frac{5}{2}$$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+5}$（n∈N^*），
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2{a}_{n}}$，
變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$\frac{5}{2}$$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比數(shù)列，首項為2，公比為$\frac{5}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2×$（\frac{5}{2}）^{n-1}$，
∴a_n=$\frac{1}{2×（\frac{5}{2}）^{n-1}-1}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的遞推關(guān)系、“取倒數(shù)法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．