Question

8．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，圓C₂：x²+y²=4．過橢圓C₁上點(diǎn)P作圓C₂的兩條切線，切點(diǎn)為A，B．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）時(shí)，求直線AB的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓上運(yùn)動(dòng)但不與橢圓的頂點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)直線AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S，問S是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值．并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則PA、PB的方程分別為x₁x+y₁y=4，x₂x+y₂y=4，而PA、PB交于P（-2，2），由此能求出AB的直線方程；
（2）求得直線AB的方程x₀x+y₀y=4，求得與x，y軸的交點(diǎn)，從而可得三角形的面積，利用基本不等式可求最值及P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由OA⊥PA，可得切線PA：y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-x₁），
x₁²+y₁²=4，
化簡(jiǎn)可得x₁x+y₁y=4，
同理PB的方程x₂x+y₂y=4，
而PA、PB交于P（-2，2），
即-2x₁+2y₁=4，-2x₂+2y₂=4，
由兩點(diǎn)確定一條直線，可得AB的直線方程為：-2x+2y=4，
即為x-y+4=0；
（2）由（1）可得直線AB的方程為x₀x+y₀y=4，
令x=0，可得y=$\frac{4}{{y}_{0}}$；令y=0，可得x=$\frac{4}{{x}_{0}}$，
則三角形面積S=$\frac{1}{2}$|$\frac{4}{{y}_{0}}$|•|$\frac{4}{{x}_{0}}$|=|$\frac{8}{{x}_{0}{y}_{0}}$|，
又$\frac{1}{3\sqrt{2}}$|x₀y₀|=2|$\frac{{x}_{0}}{2\sqrt{3}}$•$\frac{{y}_{0}}{\sqrt{6}}$|≤$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6}$=1，
即有|x₀y₀|≤3$\sqrt{2}$，
則S≥$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)|y₀|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x₀|時(shí)，又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6}$=1，
即有P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$），或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$），或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
三角形的面積S取得最小值為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要是切線方程的求法，考查三角形的面積的最值，注意運(yùn)用基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．