Question

18．已知直線l：3x+4y+10=0，以C（2，1）為圓心的圓截直線l所得的弦長(zhǎng)為6．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在斜率為1的直線m，使得以直線m被圓C截得的弦長(zhǎng)AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，寫出直線方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圓心C到直線l的距離d，半弦長(zhǎng)以及圓的半徑組成直角三角形，求出半徑，即可寫出圓C的方程；
（2）由圓C的方程，直線m的斜率為1，設(shè)出直線的斜截式方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，構(gòu)造關(guān)于b的方程，解方程即可求出所求的直線方程．

解答 解：（1）圓心C到直線l：3x+4y+10=0的距離為d=$\frac{|3×2+4×1+10|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=4，
又以C（2，1）為圓心的圓截直線l所得的弦長(zhǎng)為6，
∴r²=4²+${（\frac{6}{2}）}^{2}$=25，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=25；
（2）設(shè)直線m的方程為y=x+b，且直線m被圓C截得的弦AB的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{（x-2）}^{2}{+（y-1）}^{2}=25}\end{array}\right.$，
消去y得2x²+（2b-6）x+b²-2b-20=0；
由題意得：△=（2b-6）²-8（b²-2b-20）＞0，
解得：-1-5$\sqrt{2}$＜x＜-1+5$\sqrt{2}$，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=3-b，x₁x₂=$\frac{1}{2}$b²-b-10；
又以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
化簡(jiǎn)得：2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
代人整理得b²+b-20=0，
解得b=-5或b=4，都符合題意；
故所求的直線方程為：x-y-5=0和x-y+4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓的方程的應(yīng)用問題，解題時(shí)所使用的“設(shè)成不求”+“聯(lián)立方程”+“韋達(dá)定理”的方法是解答直線與圓錐曲線（包括圓）的關(guān)系時(shí)最常用的方法，是綜合性題目．