Question

20．已知一非零向量數(shù)列{a_n}滿足$\overrightarrow{a_1}$=（2，0），$\overrightarrow{a_n}$=（x_n，y_n）=$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2且n∈N^*）．給出以下結(jié)論：
①數(shù)列{|${\overrightarrow{a_n}}$|}是等差數(shù)列，
②|${\overrightarrow{a_2}}$|•|${\overrightarrow{a_6}}$|=$\frac{1}{2}$；
③設(shè)c_n=2log₂|${\overrightarrow{a_n}}$|，則數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，T_n取得最大值；
④記向量$\overrightarrow{a_n}$與$\overrightarrow{{a_{n-1}}}$的夾角為θ_n（n≥2），均有θ_n=$\frac{π}{4}$．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是④．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義、向量的模、向量的夾角及數(shù)列的前n項(xiàng)和等知識(shí)對(duì)每個(gè)結(jié)論逐一判斷可得答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\sqrt{{x}_{n}^{2}+{y}_{n}^{2}}$，
∴|$\overrightarrow{{a}_{n+1}}$|=$\sqrt{{x}_{n+1}^{2}+{y}_{n+1}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{{x}_{n}-{y}_{n}}{2}）^{2}+（\frac{{x}_{n}+{y}_{n}^{\;}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{{x}_{n}^{2}+{y}_{n}^{2}}$=|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|，
∴{|${\overrightarrow{a_n}}$|}是以$\sqrt{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為公比的等比數(shù)列，即①不正確．
又∵{|${\overrightarrow{a_n}}$|}是以$\sqrt{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴②|${\overrightarrow{a_2}}$|•|${\overrightarrow{a_6}}$|=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁵=$\frac{1}{4}$，即②不正確．
又∵{|${\overrightarrow{a_n}}$|}是以$\sqrt{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴|${\overrightarrow{a_n}}$|=2×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$=1，n≥3時(shí)，${\overrightarrow{a_n}}$＜1
∴c₁=1，c₂=0，當(dāng)n≥3時(shí)，c_n＜0，
∴當(dāng)n=1或2時(shí)，T_n取得最大值為1，
∴③不正確．
由已知得：$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（x_n-1，y_n-1）•$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）=$\frac{1}{2}$（x_n-1²+y_n-1²）=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$|²，
又∵cos＜$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{a}_{n-1}}•\overrightarrow{{a}_{n}}}{|\overrightarrow{{a}_{n-1}}||\overrightarrow{{a}_{n}}|}$，
將|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$|，$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$|²，代入可得cos＜$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
向量$\overrightarrow{a_n}$與$\overrightarrow{{a_{n-1}}}$的夾角為θ_n（n≥2），均有θ_n=$\frac{π}{4}$．
∴④正確．
故所有正確結(jié)論的序號(hào)是④，
故答案為：④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查知識(shí)間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，涉及到數(shù)列的判斷與證明，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用．這是高考考查的重點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要重點(diǎn)關(guān)注．