12.已知函數(shù)f(x)=x2lnx-a(x2-1),a∈R,若當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0恒成立,則a的取值范圍是( 。
A.(-∞,-1]B.(-∞,0]C.(-∞,1]D.$(-∞,\frac{1}{2}]$

分析 由已知x≥1時(shí),f(x)min>0,f′(x)=x(2lnx+1-2a),x≥1,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍.

解答 解:由已知,即x≥1時(shí),f(x)min>0,
f′(x)=x(2lnx+1-2a),x≥1,
當(dāng)1-2a≥0,即a≤$\frac{1}{2}$時(shí),f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)單調(diào)增,
∴f(x)min=f(1)=0,即a≤$\frac{1}{2}$時(shí)滿足f(x)≥0恒成立;
當(dāng)1-2a<0,即a>$\frac{1}{2}$時(shí),由f′(x)=0,得x=${e}^{a-\frac{1}{2}}$>1,
∴x∈(1,${e}^{a-\frac{1}{2}}$)時(shí),f(x)單調(diào)減,即x∈(1,${e}^{a-\frac{1}{2}}$)時(shí),
∴f(x)<f(1)=0與題設(shè)矛盾,
即a>$\frac{1}{2}$時(shí),不能滿足f(x)≥0恒成立,
綜上,所求a的取值范圍是a≤$\frac{1}{2}$;
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最小值的求法,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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2.已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,圓心為C,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,$\frac{π}{3}$),則|CP|為( 。
A.2$\sqrt{3}$B.$\sqrt{4+\frac{π^2}{9}}$C.$\sqrt{1+\frac{π^2}{9}}$D.$\sqrt{3}$

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3.已知函數(shù)f(x)=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直,g(x)=f(x)+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),若|g(x1)-g(x2)|≥$\frac{3}{4}$-ln2,求b的范圍.

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20.已知函數(shù)f(x)=xlnx-$\frac{a}{2}$x2(a∈R).
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若a=0,求f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)-x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,求證:$\frac{1}{ln{x}_{1}}$+$\frac{1}{ln{x}_{2}}$>2ae.

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7.已知函數(shù)f(x)=ex-x2-1,x∈R.
(1)求證:f(x)≥-x2+x;
(2)若f(x)>kx對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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17.定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}(x+1),x∈[0,1)}\\{|x-3|-1,x∈[1,+∞)}\end{array}\right.$,則函數(shù)F(x)=f(x)-a,(0<a<1)的所有零點(diǎn)之和為(  )
A.1-2aB.2-a-1C.1-2-aD.2a-1

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4.若二次函數(shù)f(x)的頂點(diǎn)為A(1,16),其圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為8,則f(x)=0的兩根為5或-3.

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4.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D,又BA1⊥AC1,CC1的中點(diǎn)為E.
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(2)求平面ABE與平面AA1C1C夾角的余弦值.

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5.已知F(x)=f(x)-g(x),其中f(x)=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$(x-2),當(dāng)點(diǎn)(x,y)在y=f(x)的圖象上時(shí),就有(2x,2y)在y=g(x)的圖象上.
(1)求g(x)的解析式;
(2)解不等式F(x)≥0.

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