Question

已知拋物線y²=4x，橢圓

x2

9

+

y2

m

=1，它們有共同的焦點(diǎn)F₂，并且相交于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)₁是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，
試求：
（1）m的值；
（2）P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）△PF₁F₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)已知條件可求出F₂（1，0），所以有9-m=1，m=8；
（2）解方程組

y2=4x x2 9 + y2 8 =1

即得P，Q的坐標(biāo)；
（3）由P點(diǎn)坐標(biāo)可知△PF₁F₂的邊F₁F₂的高，而|F₁F₂|=2，所以可求得△PF₁F₂的面積．

解答： 解：（1）由題意知，F(xiàn)₂（1，0）；
∴9-m=1；
∴m=8；
（2）解

y2=4x x2 9 + y2 8 =1

得，

x= 3 2 y= 6

，或

x= 3 2 y=- 6

；
∴P(

3

2

，

6

)，Q(

3

2

，-

6

)；
（3）|F₁F₂|=2；
∴S△PF1F2=

1

2

×2×

6

=

6

．

點(diǎn)評：考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)，以及兩曲線方程形成方程組的解和兩曲線交點(diǎn)的關(guān)系．