Question

14．已知函數(shù)f（x）=2x³+ax²+6在x=1時(shí)取得極值．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f′（1）=0，求得a的值；
（2）令f′（x）=0，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=2x³+ax²+6，f′（x）=6x²+2ax，
由f（x）在x=1時(shí)取得極值，即f′（1）=0，
∴6+2a=0，
∴a=-3，
（2）f（x）=2x³-3x²+6，f′（x）=6x²-6x，
令f′（x）=0，解得：x=0或x=1，
當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，
當(dāng)f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	2	↘	1	↗

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，0），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)與極值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．