Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥BE交AB于點(diǎn)D．
（1）求證：AE²=AD•AB；
（2）已知AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AE=2，求EC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明△AED∽△ABE，即可得出結(jié)論；
（2）AE是以BD為直徑的圓的切線(xiàn)，取BD中點(diǎn)O連EO則OE⊥AC，可得OE∥BC，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）因?yàn)镋D⊥BE，
所以∠AED+∠CEB=90°
又因?yàn)椤螩EB+∠CBE=90°，
所以∠AED=∠CBE
又因?yàn)锽E平分∠ABC，
所以∠DBE=∠CBE，
所以∠AED=∠DBE．
又因?yàn)椤螦=∠A，
所以△AED∽△ABE，
所以$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AE}$，
故：AE²=AD•AB  …（5分）
解：（2）由AE²=AD•AB可得：AE是以BD為直徑的圓的切線(xiàn)
取BD中點(diǎn)O連EO則OE⊥AC，
又因?yàn)锽C⊥AC，
所以O(shè)E∥BC，
所以$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AO}{OB}$．
又因?yàn)锳B=$\frac{A{E}^{2}}{AD}$=2$\sqrt{3}$，
所以DB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以AD=DO=OB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以EC=1                                      …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓相切，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，突出考查推理分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．