Question

【題目】已知連續(xù)不斷函數(shù)，，，

（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）現(xiàn)已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且都只有一個(gè)零點(diǎn)（不必證明），記三個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)分別為。

求證：Ⅰ)；

Ⅱ）判斷與的大小，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）由函數(shù)的解析式可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）Ⅰ）由題意可得，結(jié)合函數(shù)的對稱性可得；

Ⅱ）由題意結(jié)合函數(shù)的特征可證得.

詳解：

（1）先證明在區(qū)間上有零點(diǎn)：由于，

由零點(diǎn)存在性定理知在區(qū)間上有零點(diǎn)

再證明在上是單調(diào)遞減函數(shù)：設(shè)

由于在上遞減，所以又

從而，即在上是單調(diào)遞減函數(shù).

故函數(shù)在有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）Ⅰ）因?yàn)?/span>是的零點(diǎn)，所以有，將其變形為

，即，從而有=0 ，

又因?yàn)?/span>，且由（1)的結(jié)論在上有唯一零點(diǎn)，

從而有， .

Ⅱ）判斷，證明如下：

由于，

由零點(diǎn)存在性定理和已知得，從而有，

所以有，又由已知在上單調(diào)遞增，所以.