Question

如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正切值.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）取的中點(diǎn)，先證明四邊形為平行四邊形得到，然后通過勾股定理證明從而得到，然后結(jié)合四邊形為正方形得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法1是先取的中點(diǎn)，連接，利用（1）中的結(jié)論平面得到，利用等腰三角形三線合一得到，利用直線與平面垂直的判定定理得到平面，通過證明四邊形為平行四邊形得到，從而得到平面，從而得到，然后利用底面四邊形為正方形得到，由這兩個(gè)條件來證明平面，從而得到是直線與平面所成的角，然后在直角中計(jì)算，從而求出直線與平面所成角的正切值；解法2是先取的中點(diǎn)，連接，利用（1）中的結(jié)論平面得到，利用等腰三角形三線合一得到，利用直線與平面垂直的判定定理得到平面，然后選擇以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出線與平面所成角的正切值.

試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接，則，

由（1）知，，且，四邊形為平行四邊形，

，，

在中，，又，得，，

在中，，，，

，，，即，

四邊形是正方形，，

，平面，平面，平面；

（2）解法1：連接，與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，

取的中點(diǎn)，連接、、，

則，.

由（1）知，且，，且.

四邊形是平行四邊形.，且，

由（1）知平面，又平面，.

，，平面，平面，

平面.平面.

平面，.

，，平面，平面，平面.

是直線與平面所成的角.

在中，.

直線與平面所成角的正切值為；

解法2：連接，與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，

則，.由（1）知，且，，且.

四邊形是平行四邊形.

，且，

由（1）知平面，又平面，.

，，平面，平面，

平面.平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

，，.

設(shè)平面的法向量為，由，，

得，，得.

令，則平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)直線與平面所成角為，

則.，.

直線與平面所成角的正切值為.

考點(diǎn)：1.直線與平面垂直；2.直線與平面所成的角；3.空間向量法