Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-2|，g（x）=x²-x+k．
（1）求f（x）的值域；
（2）?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，1]，使f（x₁）≥g（x₂），求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數(shù)，求得函數(shù)的最大值和最小值，可得函數(shù)的值域．
（2）根據(jù)故f（x）在[0，2]上的最大值大于或等于g（x）在[-1，1]上的最大值．求得f（x）在[0，2]上的最大值為3，而g（x）=x²-x+k 在[-1，1]上的最大值為g（-1），
根據(jù)3≥g（-1），求得k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x＜-1}\\{2x-1，-1≤x≤2}\\{3，x＞2}\end{array}\right.$，故當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為3；
當(dāng)x≤-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-3，故f（x）的值域?yàn)閇-3，3]．
（2）?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，1]，使f（x₁）≥g（x₂），
故f（x）在[0，2]上的最大值大于或等于g（x）在[-1，1]上的最大值．
由（1）可得故f（x）在[0，2]上的最大值為3，而g（x）=x²-x+k=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+k-$\frac{1}{4}$在[-1，1]上的最大值為g（-1）=2+k，
∴3≥2+k，∴k≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立與能成立問題，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．