分析 根據橢圓的幾何性質可得,${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b12tanθ,根據雙曲線的幾何性質可得,${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{_{2}^{2}}{tanθ}$以及離心率以及a,b,c的關系即可求出答案.
解答 解:設∠F1PF2=2θ
根據橢圓的幾何性質可得,${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b12tanθ=b12,
∵e1=$\frac{c}{{a}_{1}}$,
∴a1=$\frac{c}{{e}_{1}}$,
∴b12=a12-c2=c2($\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$-1)
根據雙曲線的幾何性質可得,${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{_{2}^{2}}{tanθ}$=b22,
∵e2=$\frac{c}{{a}_{2}}$
a2=$\frac{c}{{e}_{2}}$
∴b22=c2-a22=c2(1-$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$),
∴c2($\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$-1)=c2(1-$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$),
即$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$=2,
∵3e1=e2,
∴e1=$\frac{\sqrt{5}}{3}$
故答案為:$\frac{\sqrt{5}}{3}$
點評 本題考查了圓錐曲線的幾何性質,以及橢圓和雙曲線的簡單性質,屬于中檔題.
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