Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+

π

6

）（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

π

2

，且圖象上一個(gè)點(diǎn)為M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，

π

6

]求函數(shù)f（x）的值域；
（3）求函數(shù)y=f（x）的圖象左移

π

2

個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的周期求出ω=2，再把點(diǎn)M（

2π

3

，-2）代入函數(shù)的解析式求出A，從而求得f（x）的解析式．
（2）由x∈[0，

π

6

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，sin(2x+

π

6

)∈[

1

2

，1]，由此可得函數(shù)的值域．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意可得函數(shù)的最小正周期為

2π

ω

=

π

2

×2，∴ω=2．
故函數(shù)f（x）=Asin（2x+

π

6

），再把點(diǎn)M（

2π

3

，-2）代入可得Asin（

3π

2

）=-2，∴A=2，
故f（x）的解析式為 f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）由x∈[0，

π

6

]，則 2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，sin(2x+

π

6

)∈[

1

2

，1]，
f（x）∈[1，2]，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

1

2

，1]．
（3）函數(shù)y=f（x）的圖象左移

π

2

個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2sin [2(x+

π

2

)+

π

6

]
=-2sin(2x+

π

6

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求函數(shù)的解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，屬于中檔題．