已知函數(shù)f(x)=
12
ax2+lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上的最大值是-1，求a的值．
分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，分a≥0和a＜0進行討論根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負可得單調(diào)區(qū)間；
（2）分類討論求得f（x）在（0，1]上的最大值，令其為1，可得a的值．
解答：解：（1）由題意可得函數(shù)f(x)=
1
2
ax2+lnx的定義域為（0，+∞）
由求導(dǎo)公式可得：f′(x)=ax+
1
x
=
ax2+1
x

當(dāng)，f′（x）=
ax2+1
x
＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時，令
ax2+1
x
＞0，可解得x＜
-
1
a
，即f（x）在（0，
-
1
a
）單調(diào)遞增，
同理由
ax2+1
x
＜0，可解得x＞
-
1
a
，即f（x）在（
-
1
a
，+∞）單調(diào)遞減．
（2）由（1）可知：若a≥0時，f（x）在（0，1]單調(diào)遞增，
故函數(shù)在x=1處取到最大值f（1）=
1
2
a=-1，解得a=-2，與a≥0矛盾應(yīng)舍去；
若0＜
-
1
a
≤1，即a≤-1，函數(shù)f（x）在（0，
-
1
a
）單調(diào)遞增，在（
-
1
a
，+∞）單調(diào)遞減．
故若
-
1
a
＞1，即-1＜a＜0時，f（x）在（0，1]單調(diào)遞增，
故函數(shù)在x=1處取到最大值f（1）=
1
2
a=-1，解得a=-2，應(yīng)舍去．
綜上可得所求a的值為：-e
點評：本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的分類討論是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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