Question

11．已知圓錐的側(cè)面積為2π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為1；這個(gè)圓錐的體積為$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．

Answer 1

分析 由圓錐的側(cè)面積為2π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，得到$\frac{π{R}^{2}}{2}$=2π，求出R即為母線l=2，從而得到底面半徑和這個(gè)圓錐的體積．

解答 解：∵圓錐的側(cè)面積為2π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，
∴$\frac{π{R}^{2}}{2}$=2π
所以R²=4，R=±2，舍去-2，R=2
因?yàn)镽即為母線l，且πrl=2π
∴底面半徑r=1，
設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)是l，半圓的弧長(zhǎng)是πl(wèi)，
由于圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，
則2π=πl(wèi)，則l=2，所以圓錐的高為$\sqrt{3}$，
故圓錐的體積為$\frac{1}{3}×π×{1}^{3}$=$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．
故答案為：1，$\frac{{\sqrt{3}π}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐的底面半徑長(zhǎng)和圓錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．