Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x≤3}\\{\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{35}{8}，x＞3}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-m存在4個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1），x₁•x₂•x₃•x₄的取值范圍是（27，35）．

Answer 1

分析 作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出m和各零點(diǎn)的范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和二次函數(shù)的對(duì)稱性得出x₁•x₂•x₃•x₄關(guān)于x₃的函數(shù)，從而求得x₁•x₂•x₃•x₄的最值．

解答 解：作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知當(dāng)0＜m＜1時(shí)，方程f（x）=m有4個(gè)解，
設(shè)g（x）的4個(gè)零點(diǎn)從小到大為x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
則x₁x₂=1，x₃+x₄=12，且3＜x₃＜5，
∴x₁x₂x₃x₄=x₃x₄=x₃（12-x₃）=-x₃²+12x₃，
設(shè)h（x）=-x²+12x，x∈（3，5），則h（x）在（3，5）上單調(diào)遞增，
又h（3）=27，h（5）=35，
∴27＜h（x）＜35．
即27＜x₁x₂x₃x₄＜35．
故答案為：（0，1），（27，35）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．