Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x}-\frac{1}{e}，x＜0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$若關(guān)于x的方程f（x）=t有三個(gè)不同的解，其中最小的解為a，則$\frac{t}{a}$的取值范圍為（-$\frac{1}{{e}^{2}}$，0）．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，計(jì)算極值，作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出t的范圍，求出a，即可得出$\frac{t}{a}$關(guān)于t的函數(shù)，求出此函數(shù)的值域即可．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，且當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-$\frac{1}{e}$．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
又當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，
∴當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得極大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
作出f（x）在定義域的函數(shù)圖象如圖所示：

∵f（x）=t有三解，∴0$＜t＜\frac{1}{e}$，
令-$\frac{2}{x}-\frac{1}{e}$=t得x=-$\frac{2}{t+\frac{1}{e}}$，即a=-$\frac{2}{t+\frac{1}{e}}$，
∴$\frac{t}{a}$=-$\frac{{t}^{2}}{2}$-$\frac{t}{2e}$，
令g（t）=-$\frac{{t}^{2}}{2}$-$\frac{t}{2e}$，則g（t）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，
∴-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜g（t）＜0．
故答案為：$（-\frac{1}{e^2}，0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)值域的求法，屬于中檔題．