Question

6．在平面直角坐標系xOy中，點A（0，1），B（0，4）．若直線2x-y+m=0上存在點P，使得PA=$\frac{1}{2}$PB，則實數(shù)m的取值范圍是-2$\sqrt{5}$≤m≤2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設出點P（x，2x+m），代入PA=$\frac{1}{2}$PB化簡得5x²+4mx+m²-4=0，由△=16m²-4×5（m²-4）≥0，求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：設P（x，2x+m），
∵PA=$\frac{1}{2}$PB，
∴4|PA|²=|PB|²，
∴4x²+4（2x+m-1）²=x²+（2x+m-4）²，
化簡得5x²+4mx+m²-4=0，
則△=16m²-4×5（m²-4）≥0，
解得-2$\sqrt{5}$≤m≤2$\sqrt{5}$，
即實數(shù)m的取值范圍是-2$\sqrt{5}$≤m≤2$\sqrt{5}$．
故答案為：$-2\sqrt{5}≤m≤2\sqrt{5}$．

點評 本題考查了直線方程的應用問題，也考查了兩點間的距離公式的應用問題，是基礎題目．