Question

11．設(shè)x₁，x₂是方程x²-xsin$\frac{3π}{5}$+cos$\frac{3π}{5}$=0的兩個根，則arctanx₁+arctanx₂的值為$\frac{π}{5}$．

Answer 1

分析 由條件利用韋達定理求得x₁+x₂ =sin$\frac{3π}{5}$，x₁•x₂=cos$\frac{3π}{5}$，再利用兩角和的正切公式求得tan（arctanx₁+arctanx₂）的值，可得arctanx₁+arctanx₂ 的值．

解答 解：由x₁、x₂是方程x²-xsin$\frac{3π}{5}$+cos$\frac{3π}{5}$=0的兩根，
可得x₁+x₂ =sin$\frac{3π}{5}$，x₁•x₂=cos$\frac{3π}{5}$，
故x₁、x₂均大于零，故arctanx₁+arctanx₂∈（0，π），
且tan（arctanx₁+arctanx₂）=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{sin\frac{3}{5}π}{1-cos\frac{3}{5}π}$=cot$\frac{3}{10}$π=tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{3}{10}$π），
∴arctanx₁+arctanx₂=$\frac{π}{5}$．
故答案為：$\frac{π}{5}$．

點評 本題主要考查韋達定理、兩角和的正切公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．