Question

4．（$\root{6}{2}$-$\frac{2}{x}$）⁷的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的各項系數(shù)之和為（　�。�

• A． -156
• B． -128
• C． -28
• D． 128

Answer 1

分析 利用二項式展開式的通項公式，求出展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項，
再計算系數(shù)為有理數(shù)的各項系數(shù)和．

解答 解：（$\root{6}{2}$-$\frac{2}{x}$）⁷的展開式中，通項公式為
T_r+1=${C}_{7}^{r}$•${（\root{6}{2}）}^{7-r}$•${（-\frac{2}{x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{7}^{r}$•${2}^{\frac{7+5r}{6}}$•x^-r；
令$\frac{7+5r}{6}$為整數(shù)，其中r=0，1，2，…，7；
由題意知，當(dāng)r=1或r=7時，展開式中系數(shù)為有理數(shù)；
所以系數(shù)為有理數(shù)的各項系數(shù)之和為
-${C}_{7}^{1}$•2²-${C}_{7}^{7}$•2⁷=-28-128=-156．
故選：A．

點評 本題考查了二項式展開式的通項公式，以及項的系數(shù)為有理數(shù)的條件和應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．