Question

18．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點$（{1，\frac{3}{2}}）$．若點M（x₀，y₀）在橢圓C上，則點$N（{\frac{x_0}{a}，\frac{y_0}}）$稱為點M的一個“橢點”．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點，且A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，試判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．

Answer 1

分析 （I）運用離心率公式和基本量a，b，c的關(guān)系，代入點$（{1，\frac{3}{2}}）$，解方程可得a，b，即可得到橢圓方程；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得${P}（{\frac{x_1}{2}，\frac{y_1}{{\sqrt{3}}}}），Q（{\frac{x_2}{2}，\frac{y_2}{{\sqrt{3}}}}）$，由于以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，運用數(shù)量積為0，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用判別式大于0，韋達(dá)定理和弦長公式，點到直線的距離公式，三角形的面積公式，化簡整理，即可得到定值．

解答 解：（I）由題意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
即${a^2}=\frac{4}{3}{b^2}$ 又$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，
可得a²=4，b²=3，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${P}（{\frac{x_1}{2}，\frac{y_1}{{\sqrt{3}}}}），Q（{\frac{x_2}{2}，\frac{y_2}{{\sqrt{3}}}}）$，
由于以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{3}=0$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化為3+4k²-m²＞0．
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k²•$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$+km（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²=$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
代入$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{3}=0$，即${y_1}{y_2}=-\frac{3}{4}{x_1}{x_2}$，
得：$\frac{{3（{m^2}-4{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}=-\frac{3}{4}•\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$，2m²-4k²=3，$\left|{AB}\right|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{48（{4{k^2}-{m^2}+3}）}}}{{3+4{k^2}}}$，
O到直線l的距離為$d=\frac{\left|m\right|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
△ABO的面積為${S_△}=\frac{1}{2}\left|{AB}\right|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{48（{4{k^2}-{m^2}+3}）}}}{{3+4{k^2}}}\frac{\left|m\right|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{1}{2}\frac{{\sqrt{48（{4{k^2}-{m^2}+3}）}\left|m\right|}}{{3+4{k^2}}}$，
把2m²-4k²=3代入上式得${S_△}=\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的綜合，考查了弦長公式的用法，訓(xùn)練了直線和圓錐曲線關(guān)系中的設(shè)而不求的解題方法，體現(xiàn)了整體運算思想，訓(xùn)練了學(xué)生的計算能力，該題是有一定難度問題．