Question

13．已知函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)任意的自變量x都有f（$\frac{π}{2}$-x）=f（$\frac{π}{2}$+x），且對任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），都有f′（x）+f（x）tanx＞0（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），設(shè)a=f（$\frac{4π}{3}$），b=f（$\frac{2π}{3}$），c=$\frac{1}{2}$f（0），則a，b，c的大小關(guān)系為（　�。�

• A． a＜c＜b
• B． c＜a＜b
• C． c＜b＜a
• D． b＜a＜c

Answer 1

分析 求出函數(shù)的對稱軸，構(gòu)造函數(shù)g（x），通過求導得到g（x）的單調(diào)性，從而判斷出a，b，c的大小即可．

解答 解：∵f（$\frac{π}{2}$-x）=f（$\frac{π}{2}$+x），
∴x=$\frac{π}{2}$是函數(shù)的對稱軸，
令g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）cosx+sinxf（x）}{{cos}^{2}x}$，
∵對任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），都有f′（x）+f（x）tanx＞0，
∴對任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），都有cosxf′（x）+sinf（x）＞0，
∴對任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），都有g(shù)′（x）＞0，
∴g（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增，
∴g（x）在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）單調(diào)遞減，
∴g（$\frac{2π}{3}$）＞g（0）=g（π）＞g（$\frac{4π}{3}$），
∴f（$\frac{2π}{3}$）＞f（0）=f（π）＞f（$\frac{4π}{3}$），
∴b＞c＞a，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．