Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

n2

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n及

Sn

n

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）b_n=

n2

anan+1

=

n2

(2n-1)(2n+1)

=

1

4

+

1

8

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出S_n，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出

Sn

n

的取值范圍．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴

a

2 2

=a1•a5，∴（1+d）²=1×（1+4d），化為d²-2d=0，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=

n2

anan+1

=

n2

(2n-1)(2n+1)

=

1

4

+

1

8

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

n

4

+

1

8

（1-

1

2n+1

）=

n

4

+

1

4(2n+1)

．
∴

Sn

n

=

1

4

+

1

4(2n+1)n

≤

1

4

+

1

12

=

1

3

．當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)，同時(shí)

Sn

n

＞

1

4

．
∴

Sn

n

的取值范圍是（

1

4

，

1

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．