Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下兩個(gè)頂點(diǎn)為A，B，直線l：y=-2，
點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，連接AP并延長交直線l于點(diǎn)N，連接PB并延長交直線l于點(diǎn)M，設(shè)AP所在的直線的斜率為k₁，BP所在的直線的斜率為k₂，若橢圓的離心率為

3

2

，且過點(diǎn)A（0，1）．
（1）求k₁•k₂的值及線段MN的最小值；
（2）隨著點(diǎn)P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；如不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可知e=

c

a

=

3

2

，b=1，又a²-b²=c²，解出a，b得到橢圓方程，設(shè)橢圓上點(diǎn)P（x₀，y₀），代入橢圓方程，再由斜率公式，即可得到k₁•k₂的值，設(shè)M（x₁，-2），N（x₂，-2），求出x₁x₂=-12，再由基本不等式求出MN=|x₁-x₂|的最小值；
（2）設(shè)M（x₁，-2），N（x₂，-2），則以MN為直徑的圓的方程為（x-x₁）（x-x₂）+（y+2）²=0，化簡(jiǎn)整理，若圓過定點(diǎn)，則有x=0，x²+（y+2）²-12=0，解出即可判斷．

解答： 解：（1）因?yàn)閑=

c

a

=

3

2

，b=1，又a²-b²=c²，解得a=2，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y²=1．
設(shè)橢圓上點(diǎn)P（x₀，y₀），有

x02

4

+y₀²=1，
所以k₁•k₂=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=

y02-1

x02

=-

1

4

．
因?yàn)镸，N在直線l：y=-2上，設(shè)M（x₁，-2），N（x₂，-2），
由方程知

x2

4

+y²=1知，A（0，1），B（0，-1），
所以K_BM•k_AN=

-2-(-1)

x1-0

•

-2-1

x2-0

=

3

x1x2

，
又由上面知k_AN•k_BM=k₁•k₂=-

1

4

，所以x₁x₂=-12，
不妨設(shè)x₁＜0，則x₂＞0，則
MN=|x₁-x₂|=x₂-x₁=x₂+

12

x2

≥2

x2• 12 x2

=4

3

，
所以當(dāng)且僅當(dāng)x₂=-x₁=2

3

時(shí)，MN取得最小值4

3

．
（2）設(shè)M（x₁，-2），N（x₂，-2），
則以MN為直徑的圓的方程為
（x-x₁）（x-x₂）+（y+2）²=0，
即x²+（y+2）²-12-（x₁+x₂）x=0，若圓過定點(diǎn)，
則有x=0，x²+（y+2）²-12=0，解得x=0，y=-2±2

3

，
所以，無論點(diǎn)P如何變化，以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)（0，-2±2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，圓的方程的求法，考查直線的斜率公式的運(yùn)用，以及恒過定點(diǎn)問題，運(yùn)算和化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．