Question

【題目】已知函數(shù)。

（1）若函數(shù)的一個極值點為，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，且關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為。(2)

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的極值點，求得的值，得到函數(shù)解析式，利用導數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，符合題意，

當時， ，該方程有一正一負根，即存在，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結合，求得的取值范圍，即可求得的范圍．

（1）依題可知函數(shù)的定義域為，且，

因為 函數(shù)的一個極值點為，所以，即，得，

經(jīng)檢驗，符合題意，所以，

所以，

令，即，解得，

令即，解得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）當時，符合題意，

當時，，令，

因為，所以，則該方程有兩不同實根，且一正一負，

即存在，使得，

可知時，，時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

所以，即，

因為在上單調(diào)遞增，且時，，所以，

由，得，

設，則，故在上單調(diào)遞減，

所以，即為的范圍，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．