Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若△POF₂是面積為$\sqrt{3}$的正三角形，則橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 橢圓上存在點(diǎn)P使△POF₂為正三角形，設(shè)F為左焦點(diǎn)，|OF₂|=c，不妨P在第二象限，由△POF₂是面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•丨PF₂丨²=$\sqrt{3}$，解得：丨PF₂丨=2，由等腰三角形的性質(zhì)可知：△PF₁F₂為直角三角形，由橢圓的定義可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，a=$\sqrt{3}$+1，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1．

解答 解：∵橢圓上存在點(diǎn)P使△POF₂為正三角形，設(shè)F為左焦點(diǎn)，|OF₂|=c，不妨P在第二象限，

由△POF₂是面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•丨PF₂丨²=$\sqrt{3}$，解得：丨PF₂丨=2，
則|OF₂|=c=2，
有丨OP丨=丨OF₂丨，
∴△OPF₁為等腰三角形，
∴∠PF₁O=∠OPF₁=30°，
∴△PF₁F₂為直角三角形，
∴丨PF₁丨=2$\sqrt{3}$，
由橢圓的定義可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，
即a=$\sqrt{3}$+1，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1，
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，等腰三角形的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．