Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且有唯一的零點-1．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；  
（Ⅱ）當x∈[-2，2]時，求函數(shù)F（x）=f（x）-kx的最小值g（k）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）由已知中二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且有唯一的零點-1．構造關于a，b，c的方程組，可得f（x）的表達式；  
（Ⅱ）當x∈[-2，2]時，求函數(shù)F（x）=f（x）-kxx²+（2-k）x+1，對稱軸為x=

k-2

2

，圖象開口向上，分類求出其最小值，最后綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得c=1，-

b

2a

=-1，b²-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
從而f（x）=x²+2x+1；  …（3分）
（Ⅱ）F（x）=x²+（2-k）x+1，對稱軸為x=

k-2

2

，圖象開口向上
當

k-2

2

≤-2即k≤-2時，F(xiàn)（x）在[-2，2]上單調遞增，
此時函數(shù)F（x）的最小值g（k）=F（-2）=k+3；…（5分）
當-2＜

k-2

2

≤2即-2＜k≤6時，F(xiàn)（x）在[-2，

k-2

2

]上遞減，在[

k-2

2

，2]上遞增，
此時函數(shù)F（x）的最小值g(k)=F(

k-2

2

)=-

k2-4k

4

；      …（7分）
當

k-2

2

＞2即k＞6時，F(xiàn)（x）在[-2，2]上單調遞減，
此時函數(shù)F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k；             …（9分）
綜上，函數(shù)F（x）的最小值g(k)=

k+3，         k≤-2 - k2-4k 4 ， -2＜k≤6 9-2k，       k＞6

；    …（10分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，求函數(shù)的解析式，函數(shù)的最值，是二次函數(shù)圖象和性質的綜合考查，難度中檔．