Question

已知函數f（x）=-x²+mx-m．
（1）若函數f（x）在[-1，0]上單調遞減，求實數m的取值范圍；
（2）是否存在實數m，使得f（x）在定義域[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出實數m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據題意得出應滿足

m

2

≤-1，解得m≤-2，即可．
（2）分類討論：當

m

2

≤2，即

f(2)=3 f(3)=2

即

-4+2m-m=3 -9+3m-m=2

解得m無解．
當

m

2

≥3，即m≥6時，有

f(2)=2 f(3)=3

即

-4+2m-m=2 -9+3m-m=3

解得m=6．
當2＜

m

2

＜3，即4＜m＜6時，有f（

m

2

）=-(

m

2

)²+m-

m

2

×m=3，

解答： 解：（1）函數f（x）圖象的對稱軸是x=

m

2

，
要使f（x）在[-1，0]上是單調遞減的，應滿足

m

2

≤-1，解得m≤-2．
（2）當

m

2

≤2，即m≤4時，f（x）在[2，3]上是減少的．
若存在實數m，使f（x）在[2，3]上的值域是[2，3]，
則有即

f(2)=3 f(3)=2

即

-4+2m-m=3 -9+3m-m=2

解得m無解．
當

m

2

≥3，即m≥6時，f（x）在[2，3]上是增加的，
則有

f(2)=2 f(3)=3

即

-4+2m-m=2 -9+3m-m=3

解得m=6．
當2＜

m

2

＜3，即4＜m＜6時，f（x）在[2，3]上先增加，再減小，
所以f（x）在x=

m

2

處取最大值．
則有f（

m

2

）=-(

m

2

)²+m-

m

2

×m=3，
解得m=-2或6 （舍去）．
綜上，存在實數m=6，使f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]．

點評：本題考查了二次函數的性質，運用不等式，分類求解判斷即可，．