Question

【題目】設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是橢圓 上的兩點，已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），若 =0且橢圓的離心率e= ，短軸長為2，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意知2b=2，∴b=1，e= = =

∴a=2，c= =

∴橢圓的方程為

（Ⅱ）①當直線AB斜率不存在時，即x1=x2，y1=﹣y2，

∵ =0

∴x12﹣ =0

∴y12=4x12

又A（x1，y1）在橢圓上，所以x12+ =1

∴|x1|= ，|y1|=

s= |x1||y1﹣y2|=1

所以三角形的面積為定值．

②當直線AB斜率存在時：設AB的方程為y=kx+b

消去y得（k2+4）x2+2kbx+b2﹣4=0

∴x1+x2= ，x1x2= ，△=（2kb）2﹣4（k2+4）（b2﹣4）＞0

而 =0，

∴x1x2+ =0

即x1x2+ =0代入整理得

2b2﹣k2=4

S= |AB|= = =1

綜上三角形的面積為定值1．

【解析】（1）依題意可求得b，進而根據(jù)離心率求得a，則橢圓方程可得．（2）先看當直線AB斜率不存在時，即x1=x2，y1=y2，根據(jù) =0代入求得x12﹣ =0把點A代入橢圓方程，求得A點橫坐標和縱坐標的絕對值，進而求得△AOB的面積的值；當直線AB斜率存在時：設AB的方程為y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)偉大定理求得x1+x2和x1x2的表達式代入 =0中整理可求得2b2﹣k2=4代入三角形面積公式中求得求得△AOB的面積的值為定值．最后綜合可得答案．