Question

2．已知點(diǎn)P（2，1）在直線l：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1上，且直線l與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積最小時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)題意利用基本不等式求出當(dāng)且僅當(dāng)a=4、b=2時(shí)，△OAB面積為S=4達(dá)到最小值，由此即可得到直線l的方程的方程

解答 解：∵直線l：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1過點(diǎn)M（2，1），且直線l與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}$=1，a＞0，b＞0．
∵1=$\frac{2}{a}+\frac{1}$≥$2\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}}$，化簡(jiǎn)得ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{a}$=$\frac{1}$時(shí)，即a=4，b=2時(shí)，等號(hào)成立，
∴當(dāng)a=4，b=2時(shí)，ab有最小值8，
此時(shí)△OAB面積為S=$\frac{1}{2}$ab=4達(dá)到最小值．
直線l的方程的方程為$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}$=1，即x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題給出經(jīng)過定點(diǎn)的直線，求滿足特殊條件的直線方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．