Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n}的前n項和為T_n，且滿足T_n=

3

2

S_n-3n，n∈N^*．
（1）求a₁的值．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）記b_n=

2an

(an-2)2

，n∈N^*，求證b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時，a₁=

3

2

a1-3，由此能求出a₁=6．
（2）當(dāng)n≥2時，S_n=T_n-T_n-1=

3

2

an+3，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-

3

2

an-1，從而得到{a_n}是首項為6，公比為3的等比數(shù)列，由此能求出an=6×3n-1=2•3ⁿ．
（3）b_n=

2an

(an-2)2

=

4•3n

4(3n-1)2

=

3n

(3n-1)2

，當(dāng)n=1時，b₁=

3

4

＜1，當(dāng)n≥2時，b_n=

2an

(an-2)2

=

4•3n

4(3n-1)2

=

3n

(3n-1)2

＜

3n

(3n-1)(3n-3)

=

1

2

(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)，由此利用裂項求和法能證明b₁+b₂+…+b_n＜1．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
數(shù)列{S_n}的前n項和為T_n，
且滿足T_n=

3

2

S_n-3n，n∈N^*．
∴當(dāng)n=1時，a₁=

3

2

a1-3，解得a₁=6．
（2）解：當(dāng)n≥2時，S_n=T_n-T_n-1=

3

2

an+3，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-

3

2

an-1，即a_n=3a_n-1，
∴{a_n}是首項為6，公比為3的等比數(shù)列，
∴an=6×3n-1=2•3ⁿ．
（3）證明：b_n=

2an

(an-2)2

=

4•3n

4(3n-1)2

=

3n

(3n-1)2

，
當(dāng)n=1時，b₁=

3

4

＜1，
當(dāng)n≥2時，b_n=

2an

(an-2)2

=

4•3n

4(3n-1)2

=

3n

(3n-1)2

＜

3n

(3n-1)(3n-3)

=

3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

2

(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)，
∴b₁+b₂+…+b_n＜

3

4

+

1

2

(

1

3-1

-

1

9-1

+

1

9-1

-

1

27-1

+…+

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)
=

3

4

+

1

2

(

1

2

-

1

3n-1

)
=1-

3

4(3n-1)

＜1，
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要注意放縮法和裂項求和法的合理運用．