設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1．
（1）證明：ab+bc+ca≤
1
3
；
（2）求
1
a
+
1
b
+
1
c
的最小值．
考點(diǎn)：基本不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）由ab+bc+ac≤a2+b2+c2，可得3（ab+bc+ac）≤（a+b+c）2=1，即可證明．
（2）由a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，可得
1
a
+
1
b
+
1
c
=（a+b+c）(
1
a
+
1
b
+
1
c
)≥3
3abc
×3
3
1
abc
即可得出．
解答： （1）證明：∵a+b+c=1，ab+bc+ac≤a2+b2+c2，
∴3（ab+bc+ac）≤（a+b+c）2=1，
∴ab+bc+ca≤
1
3
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=
1
3
時(shí)取等號(hào)；
（2）解：∵a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，
∴
1
a
+
1
b
+
1
c
=（a+b+c）(
1
a
+
1
b
+
1
c
)≥3
3abc
×3
3
1
abc
=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=
1
3
時(shí)取等號(hào)．
∴
1
a
+
1
b
+
1
c
的最小值是9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若tanα=
1
2
，tan（α-β）=-
2
3
，則tanβ的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，A，B，C為△ABC的角，若sinA•
OA
+sinB•
OB
+sinC•
OC
=
O
，則點(diǎn)O為△ABC的
 
心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計(jì)算：sin220°+cos250°+sin30°sin70°=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知1+
tanA
tanB
=
2sinC
sinB
，當(dāng)sinC=3sinB 時(shí)，求tan（B-
π
3
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知函數(shù)f（x）=
x2-ax，x≥-1
-2-(a+3)x，x＜-1
，若對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng)x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足Tn=
3
2
Sn-3n，n∈N*．
（1）求a1的值．
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）記bn=
2an
(an-2)2
，n∈N*，求證b1+b2+…+bn＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：ax-3y-2=0與曲線y=x3在點(diǎn)P（1，1）處的切線垂直，則P（1，1）到直線l的距離為（　　）
A、
7
13
13
B、
2
10
5
C、
3
13
13
D、
3
10
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
2x-a
2x+1
（a∈R）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．
（Ⅰ）求a的值，并求出函數(shù)F（x）=f（x）+2x-
4
2x+1
-1的零點(diǎn)；
（Ⅱ）若函數(shù)h（x）=f（x）+2x-
b
2x+1
在[0，1]內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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