Question

2．已知函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位長度，再將得到的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=g（x）的圖象；若函數(shù)y=g（x）在區(qū)間$（\frac{π}{2}，\frac{13π}{4}）$上的圖象與直線y=a有三個交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及倍角公式，輔助角公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出函數(shù)g（x）的表達式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）$，
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx），
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x-cos²x，
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
所以$x∈（kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}）$時函數(shù)單調(diào)遞增；
（2）g（x）=sin[2（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（x-$\frac{π}{2}$）=cosx．
根據(jù)圖象知：$a∈（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．