Question

已知函數(shù)g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有g(shù)（x+y）-g（y）-x（x+2y+1）成立，是g（x）=0，且f（x）=

g(x)-3x+3

x

．
（1）求g（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知k∈R，設(shè)P：不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，Q：f（|2^x-1|）+k•

2

|2x-1|

-3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，如果滿足P成立的k的集合記為A，滿足Q成立的k的集合記為B，求A∩B．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）對(duì)抽象函數(shù)滿足的函數(shù)值關(guān)系的理解和把握是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵，對(duì)自變量適當(dāng)?shù)馁x值可以解決該問(wèn)題，結(jié)合已知條件可以賦x=-1，y=1求出f（0）；
（2）在（1）基礎(chǔ)上賦值y=0可以實(shí)現(xiàn)求解f（x）的解析式的問(wèn)題；
（3）利用分離參數(shù)法，求出函數(shù)的最值，即可求出集合A，方程f（|2^x-1|）+k•

2

|2x-1|

-3k=0⇒|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，（|2^x-1|≠0），令|2^x-1|=t，則t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），構(gòu)造函數(shù)h（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），通過(guò)數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想即可求得k的范圍，繼而的都集合B，再根據(jù)交集的運(yùn)算求出結(jié)果

解答： 解：（1）∵g（x+y）-g（y）=x（x+2y+1），g（1）=0，
令x=1，y=0，得g（1）-g（0）=1×（1+0+1）=2，
故g（0）=-2，
（2）令y=0，則g（x）-g（0）=x（x+1），
∴g（x）=x²+x-2，
∴f（x）=

g(x)-3x+3

x

=x+

1

x

-2
（3）∵f（2^x）-k•2^x≥0
∴k≤

f(2x)

2x

=(

1

2x

)2-2（

1

2x

）+1，
設(shè)

1

2x

=t，t∈[

1

2

，2]，
∴k≤（t-1）²，
∵（t-1）²_max=1，
∴k≤1，
∴A=（-∞，1]，
∵f（|2^x-1|）+k•

2

|2x-1|

-3k=0可化為：
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0，
令|2^x-1|=t，則方程化為t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），
∵f（|2^x-1|）+k•

2

|2x-1|

-3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴由t=|2^x-1|的圖象知，
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有兩個(gè)根t₁、t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1．
記h（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），
由題意可知，

h(0)=1+2k＞0 h(1)=-k＜0

或

h(0)=1+2k＞0 h(1)=-k＜0 0＜ 2+3k 2 ＜1

解得k＞0，
∴B=（0，+∞）
∴A∩B=（0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分離參數(shù)法求解恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想，屬于難題．