Question

8．如圖，在五棱錐F-ABCDE中，平面AEF⊥平面ABCDE，AF=EF=1，AB=DE=2，BC=CD=3，且∠AFE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°．
（1）已知點G在線段FD上，確定G的位置，使得AG∥平面BCF；
（2）點M，N分別在線段DE，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，D與F恰好重合，求三棱錐A-BMF的體積．

Answer 1

分析 （1）點G為靠近D的三等分點，在線段CD取一點H，使得CH=2，連結AH，GH，即可得到AH∥BC，由點G為靠近D的三等分點，進一步求得GH∥CF，即可得結論；
（2）連接BD，求得AE，BD，又AB=DE，求出∠AED，取AE的中點K，連接FK，得到FK⊥KM，設ME=x（0＜x＜2），求出KM，又DM=FM=KM²+FK²，即可求出x的值，則三棱錐A-BMF的體積可求．

解答 解：（1）點G為靠近D的三等分點
在線段CD取一點H，使得CH=2，連結AH，GH，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD．
又AB=CH，∴四邊形ABCH為平行四邊形，∴AH∥BC．
∵點G為靠近D的三等分點，
∴FG：GD=CH：HD=2：1，∴GH∥CF．
∵AH∩GH=H，∴平面AGH∥平面BCF，而AG?平面AGH，∴AG∥平面BCF；
（2）連接BD，根據(jù)條件求得$AE=\sqrt{2}$，$BD=3\sqrt{2}$，又AB=DE=2，∴∠AED=135°．
取AE的中點K，連接FK，∵AF=EF，∴FK⊥AE，又平面AEF⊥平面ABCDE，∴FK⊥平面ABCDE，∴FK⊥KM．
設ME=x（0＜x＜2），∵$KE=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴KM=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+{x}^{2}-2x×\frac{\sqrt{2}}{2}cos135°$=${x}^{2}+x+\frac{1}{2}$．
∵翻折后，D與F重合，∴DM=FM．
∴DM=FM=KM²+FK²，∴（2-x）²-x²+x+1⇒x=$\frac{3}{5}$．
∴V_A-BMF=V_F-ABM=$\frac{1}{3}×FK×\frac{1}{2}×AB×（ME+1）$=$\frac{1}{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}×2×\frac{8}{5}=\frac{4\sqrt{2}}{15}$．

點評 本題考查空間幾何體的體積，直線與平面的位置關系，平面與平面的位置關系的判斷與證明，考查空間想象能力以及邏輯推理計算能力，是中檔題．