Question

如圖，橢圓長軸端點為A，B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，

AF

•

FB

=1，且斜率為

2

2

的直線m與橢圓交于不同的兩點，這兩點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于P，Q兩點，問：
是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用數(shù)量積運算可得

AF

•

FB

=1，可得1=a²-c²．直線m的方程為y=

2

2

x，x=c時 y=

2

2

c
代入橢圓方程可得

c2

a2

+(

2

2

c)2=1，聯(lián)立解得即可．
（2）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由k_MF=-1可得 k_PQ=1．設(shè)直線l為 y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立可得3x²+4mx+2m²-2=0（*）．把根與系數(shù)的關(guān)系代入

MP

•

FQ

=0=x1(x2-1)+y2(y1-1)，化簡整理即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵

AF

•

FB

=1，即 （a+c）•（a-c）=1=a²-c²，
∴b²=a²-c²=1①
由題意知，直線m的方程為y=

2

2

x，對于y=

2

2

x當(dāng)x=c時 y=

2

2

c
由已知得，點(c，

2

2

c)在橢圓上，∴

c2

a2

+(

2

2

c)2=1，②
由①②得  c²=1，∴a²=2．
故橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，1），F(xiàn)（1，0），∴k_MF=-1．
∵PQ⊥MF，
∴k_PQ=1．
設(shè)直線l為 y=x+m，
聯(lián)立

y=x+m x2+2y2=2

得3x²+4mx+2m²-2=0（*）．
∴x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
∵

MP

•

FQ

=0=x1(x2-1)+y2(y1-1)，
又y_i=x_i+m（i=1，2），得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0，
∴2•

2m2-2

3

-

4m

3

(m-1)+m2-m=0，
化簡得3m²+m-4=0解得m=-

4

3

或m=1，
經(jīng)檢驗m=1不符合條件，故舍去，m=-

4

3

符合條件．
則直線l的方程為：y=x-

4

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、三角形垂心的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．