Question

已知sin（π-α）-cos（π+α）=

2

3

，（

π

2

＜α＜π），求下列各式的值：
（Ⅰ）sinα-cosα；
（Ⅱ）sin³（

π

2

-α）-cos³（

π

2

+α）．

Answer 1

考點：運用誘導公式化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用已知條件通過誘導公式化簡以及同角三角函數(shù)的基本關系式求解sinα-cosα；
（Ⅱ）化簡sin³（

π

2

-α）-cos³（

π

2

+α）結(jié)合已知條件以及第一問的結(jié)論求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）sin（π-α）-cos（π+α）=

2

3

，（

π

2

＜α＜π），
∴sinα+cosα=

2

3

，∴2sinαcosα=-

7

9

∴（sinα-cosα）²=（sinα+cosα）²-4sinαcosα=

2

9

+

14

9

=

16

9

，
∵

π

2

＜α＜π，
∴sinα-cosα=

4

3

．
（Ⅱ）sin³（

π

2

-α）-cos³（

π

2

+α）
=cos³α+sin³α
=（sinα+cosα）（sin²α+cos²α-sinαcosα）=

2

3

(1+

7

18

)=

25 2

54

．

點評：本題考查誘導公式的應用，三角函數(shù)的化簡求值，是中檔題．