Question

已知函數(shù)f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，用直線的點(diǎn)斜式方程求切線的方程；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意導(dǎo)函數(shù)中有參數(shù)a，故可能要分類討論；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的最值情況，得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，
f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

=

2x

x2+1

，
∴f′(x)=

2(x2+1)-2x•2x

(x2+1)2

=

-2(x-1)(x+1)

(x2+1)2

．
∴f（0）=0，f′（0）=2．
∴曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為：y=2x．
（2）∵f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，
∴f′(x)=

2a(x2+1)-2x(2ax+a2-1)

(x2+1)2

=

-2(ax-1)(x+a)

(x2+1)2

，
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=

2x

(x2+1)2

．
所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．        
當(dāng)a≠0，f′（x）=

-2a(x- 1 a )(x+a)

(x2+1)2

．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=-a，x₂=

1

a

，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-a），（

1

a

，+∞）；單調(diào)增區(qū)間是（-a，

1

a

）．  …（7分）
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，

1

a

）；單調(diào)減區(qū)間是（-

1

a

，-a），（-a，+∞）．
（3）解：由（2）得，a=0時(shí)不合題意．                       
當(dāng)a＞0時(shí)，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，

1

a

）單調(diào)遞增，在（

1

a

，+∞）單調(diào)遞減，
若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，
則f（0）≤f（2），且

1

a

＜2，
即a²-1≤

a2+4a-1

5

且a＞

1

2

，
解得：

1

2

＜a≤

1+ 5

2

，
當(dāng)a＜0時(shí)，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）單調(diào)遞減，在（-a，+∞）單調(diào)遞增，
若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，
則f（0）≥f（2），且-a＜2，
即a²-1≥

a2+4a-1

5

且a＞-2，
解得：-2＜a≤

1- 5

2

，
綜上，a的取值范圍是（-2，

1- 5

2

]∪（

1

2

，

1+ 5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔試題