Question

1．已知點P在拋物線y=x²上，點Q在圓（x-4）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=1上，則|PQ|的最小值為（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$-1
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1
• C． 2$\sqrt{3}$-1
• D． $\sqrt{10}$-1

Answer 1

分析 設P（t，t²），求出|PC|²=t⁴+2t²-8t+16+$\frac{1}{4}$，構造函數，利用函數的導數求解函數的最小值，由此能求出|PQ|的最小值．

解答 解：∵點P在拋物線y=x²上，∴設P（t，t²），
∵圓（x-4）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=1的圓心C（4，-$\frac{1}{2}$），半徑r=1，
∴|PC|²=（4-t）²+（$-\frac{1}{2}$-t²）²=t⁴+2t²-8t+16+$\frac{1}{4}$，
令y=|PC|²=t⁴+2t²-8t+16+$\frac{1}{4}$，y′=4t³+4t-8=0，可得t³+t-2=0，解得t=1，當t＜1時，y′＜0，當t＞1，y′＞0，可知函數在t=1時取得最小值，|PC|²_min=$\frac{45}{4}$
|PQ|的最小值=$\frac{3\sqrt{5}}{2}-1$．
故選：A．

點評 本題考查的知識要點：兩點間的距離公式的應用，函數的導數的應用，考查圓的方程和拋物線方程的應用，及相關的運算問題．