已知數(shù)列的首項(xiàng)其中令集合.
(Ⅰ)若,寫出集合中的所有的元素;
(Ⅱ)若,且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列,求的所有可能取值構(gòu)成的集合;
(Ⅲ)求證:.

(Ⅰ)集合的所有元素為:4,5,6,2,3,1.
(Ⅱ)首項(xiàng)的所有可能取值的集合為{,}.
(Ⅲ)見解析.

解析試題分析:(Ⅰ)將代入,依次寫出集合的所有元素.
(Ⅱ)不妨設(shè)成等比數(shù)列的這連續(xù)7項(xiàng)的第一項(xiàng)為,關(guān)鍵是理解好“如果是3的倍數(shù),則;如果是被3除余1,則由遞推關(guān)系可得,所以是3的倍數(shù),所以;如果被3除余2,則由遞推關(guān)系可得,所以是3的倍數(shù),所以.”得到結(jié)論:該7項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為.
(Ⅲ)分“被3除余1,被3除余2,,被3除余0”加以討論,確定得到的關(guān)系為:,
從而利用
進(jìn)一步得到,所以.數(shù)列中必存在某一項(xiàng)(否則會(huì)與上述結(jié)論矛盾!)
并對(duì),,加以討論,得到,.
此題較難,對(duì)考生邏輯思維能力要求較高
試題解析:(Ⅰ)集合的所有元素為:4,5,6,2,3,1..                3分
(Ⅱ)不妨設(shè)成等比數(shù)列的這連續(xù)7項(xiàng)的第一項(xiàng)為
如果是3的倍數(shù),則;如果是被3除余1,則由遞推關(guān)系可得,所以是3的倍數(shù),所以;如果被3除余2,則由遞推關(guān)系可得,所以是3的倍數(shù),所以.
所以,該7項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/73/a/uizld.png" style="vertical-align:middle;" />,所以這7項(xiàng)中前6項(xiàng)一定都是3的倍數(shù),而第7項(xiàng)一定不是3的倍數(shù)(否則構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)數(shù)會(huì)多于7項(xiàng)),
設(shè)第7項(xiàng)為,則是被3除余1或余2的正整數(shù),則可推得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/22/5/beccs3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.
由遞推關(guān)系式可知,在該數(shù)列的前項(xiàng)中,滿足小于2014的各項(xiàng)只有:
,,
所以首項(xiàng)的所有可能取值的集合為
{,}.                       8分
(Ⅲ)若被3除余1,則由已知可得

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+2n,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2-bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn·bn,證明:當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí),cn+1<cn..

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設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,記Dn內(nèi) 的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為an(n∈N*)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).
(1) 求證:數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3n(n∈N*).
(2) 記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Tn.若對(duì)于一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知數(shù)列滿足,其中N*.
(Ⅰ)設(shè),求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在正整數(shù),使得對(duì)于N*恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-a,n∈N*.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{bn}滿足:b1=a1+2,且b2+5,b4+5,b8+5成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求a的值及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{logan}的前n項(xiàng)和為Tn.求使Tn>bn的最小正整數(shù)n.

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已知數(shù)列滿足遞推式:
(Ⅰ)若,求的遞推關(guān)系(用表示);
(Ⅱ)求證:

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在數(shù)列中,
(1)求的值;
(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;
(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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若數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意正整數(shù)都有,記
(1)求,的值;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若求證:對(duì)任意

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等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知,且成等比數(shù)列,求的通項(xiàng)公式.

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