在數(shù)列中,
(1)求的值;
(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項公式;
(3)求數(shù)列的前n項和.
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已知數(shù)列{an}的前三項分別為a1=5,a2=6,a3=8,且數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn+m=(S2n+S2m)-(n-m)2,其中m,n為任意正整數(shù).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn;
(2)求滿足-an+33=k2的所有正整數(shù)k,n.
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已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列,求證:為等差數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的圖像的頂點到軸的距離構(gòu)成數(shù)列,求的前項和.
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已知數(shù)列的首項其中,令集合.
(Ⅰ)若,寫出集合中的所有的元素;
(Ⅱ)若,且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項構(gòu)成等比數(shù)列,求的所有可能取值構(gòu)成的集合;
(Ⅲ)求證:.
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某企業(yè)為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,今年年初新購置了一條高性能的生產(chǎn)線,該生產(chǎn)線在使用過程中的設(shè)備維修、燃料和動力等消耗的費用(稱為設(shè)備的低劣化值)會逐年增加,第一年設(shè)備低劣化值是4萬元,從第二年到第七年,每年設(shè)備低劣化值均比上年增加2萬元,從第八年開始,每年設(shè)備低劣化值比上年增加25%.
(1)設(shè)第年該生產(chǎn)線設(shè)備低劣化值為,求的表達(dá)式;
(2)若該生產(chǎn)線前年設(shè)備低劣化平均值為,當(dāng)達(dá)到或超過12萬元時,則當(dāng)年需要更新生產(chǎn)線,試判斷第幾年需要更新該生產(chǎn)線,并說明理由.
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已知正項數(shù)列的前項和為,是與的等比中項.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)若,且,求數(shù)列的通項公式;
(3)在(2)的條件下,若,求數(shù)列的前項和.
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設(shè)數(shù)列滿足:,,.
(Ⅰ)求的通項公式及前項和;
(Ⅱ)已知是等差數(shù)列,為前項和,且,.求的通項公式,并證明:.
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已知無窮數(shù)列中,、 、、構(gòu)成首項為2,公差為-2的等差數(shù)列,、、、,構(gòu)成首項為,公比為的等比數(shù)列,其中,.
(1)當(dāng),,時,求數(shù)列的通項公式;
(2)若對任意的,都有成立.
①當(dāng)時,求的值;
②記數(shù)列的前項和為.判斷是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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等差數(shù)列的公差為,且成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項和.
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