Question

16．若命題“?x₀∈（0，+∞），使lnx₀-ax₀＞0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)特稱命題為假命題，轉(zhuǎn)化為“?x∈（0，+∞），使lnx-ax≤0”恒成立，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性額最值進(jìn)行求解即可．

解答 解：若命題“?x₀∈（0，+∞），使lnx₀-ax₀＞0”是假命題，
則命題“?x∈（0，+∞），使lnx-ax≤0”恒成立，
即ax≥lnx，
即a≥$\frac{lnx}{x}$，
設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得1-lnx＞0得lnx＜1，則0＜x＜e，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得1-lnx＜0得lnx＞1，則x＞e，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=e時，函數(shù)f（x）取得極大值，同時也是最大值，此時f（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
故a≥$\frac{1}{e}$，
故答案為：[$\frac{1}{e}$，+∞）

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)特稱命題和全稱命題之間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，以及可以參數(shù)分離法和構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．