Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線平行于直線6x+2y+5=0，則f（x）的極大值與極小值之差為4．

Answer 1

分析 先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由題意可得f′（2）=0，f′（1）=-3，代入可求出a、b的值，進(jìn)而可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的極大值為f（0）=0，極小值為f（2）=-4，即可得出函數(shù)的極大值與極小值的差．

解答 解：對函數(shù)求導(dǎo)可得f′（x）=3x²+6ax+3b，
因為函數(shù)f（x）在x=2取得極值，所以f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0，
即4a+b+4=0①，
又因為圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，
所以f′（1）=3+6a+3b=-3，
即2a+b+2=0②，
聯(lián)立①②可得a=-1，b=0，
所以f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
當(dāng)f′（x）＞0時，x＜0或x＞2；當(dāng)f′（x）＜0時，0＜x＜2，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 （-∞，0）和（2，+∞），函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，2），
因此求出函數(shù)的極大值為f（0）=0，極小值為f（2）=-4，
故函數(shù)的極大值與極小值的差為0-（-4）=4，
故答案為：4．

點評 本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題和函數(shù)恒成立問題．