Question

15．已知數(shù)列{a_n}中，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-2（n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（n+1）•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得到數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式，
（2）利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，可得a₁=2；
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），
即有a_n=2a_n-1，
則數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
可得a_n=2ⁿ，
（2）∵b_n=（n+1）•a_n=b_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ，①
∴2S_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-S_n=2+2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=2+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹．
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法和錯(cuò)位相減法法求和，屬于中檔題．