Question

8．已知函數(shù)f（x）=log_a（x²-2x+3）（a＞0，a≠1），當x∈[0，3]時，恒有f（x）＞-1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由配方法得x²-2x+3=（x-1）²+2，從而可得（x-1）²+2∈[2，6]；從而討論以確定實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵x²-2x+3=（x-1）²+2，
又∵x∈[0，3]，
∴（x-1）²+2∈[2，6]；
①當a＞1時，f（x）＞0恒成立；
②當0＜a＜1時，
y=log_au在[2，6]上是減函數(shù)，
故log_a6＞-1，
故0＜a＜$\frac{1}{6}$；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{6}$）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了復合函數(shù)的應用及恒成立問題與分類討論的思想應用．