Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|，M為不等式f（x）＜4的解集．
（1）求M；
（2）證明：對(duì)?a，b∈M，|ab+4|＞|a+b|．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對(duì)值，利用分段函數(shù)，求M；
（2）利用分析法，即可證明．

解答 解：（1）$f（x）=|{x-1}|+|{x+1}|=\left\{{\begin{array}{l}{2x，x＞1}\\{2，-1≤x≤1}\\{-2x，x＜-1}\end{array}}\right.$，解得M=（-2，2）；
（2）要證明|ab+4|＞|a+b|，
只要證明ab+4＞|a+b|，
即-ab-4＜a+b＜ab+4，$?\left\{{\begin{array}{l}{（{a-1}）（{b-1}）＞-3}\\{（{a+1}）（{b+1}）＞-3}\end{array}}\right.$顯然成立．
∴對(duì)?a，b∈M，|ab+4|＞|a+b|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．