Question

4．已知橢圓在x軸兩焦點為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=10，P為橢圓上一點，∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，△F₁PF₂的面積為6$\sqrt{3}$，求橢圓的標準方程？

Answer 1

分析 由題意可得橢圓的焦點在x軸上，然后利用面積公式結合余弦定理求出2a，再結合隱含條件求出b，則橢圓方程可求．

解答 解：由題意，橢圓的焦點在x軸上，
設橢圓標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
則$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|•sin∠{F}_{1}P{F}_{2}=6\sqrt{3}$，
且$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|cos∠{F}_{1}P{F}_{2}=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，
∴|PF₁|•|PF₂|=24，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=76$，
則$|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2\sqrt{31}$，即$a=\sqrt{31}$．
又∵c=5，∴b=$\sqrt{6}$，
∴橢圓標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{31}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了橢圓的簡單性質，涉及焦點三角形問題，常采用橢圓定義及余弦定理解決，是中檔題．