Question

17．過點P（-1，0）作曲線f（x）=e^x的切線l．
（1）求切線l的方程；
（2）若直線l與曲線y=$\frac{a}{f（x）}$（a∈R）交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求證：x₁+x₂＜-4．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點，可得方程組，即可求切線l的方程；
（2）設(shè)f（x）=（x+1）e^x，則f（x₁）=f（x₂）．f'（x）=（x+2）e^x，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；設(shè)g（x）=f（x）-f（-4-x），切點其單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：y'=e^x，設(shè)切點（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{y_0}={e^{x_0}}\\{e^{x_0}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}\end{array}\right.$，解得x₀=0，
因此y'|_x=0=1，l的方程是y=x+1．…（6分）
（2）證明：依題意有$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{{{e^{x_1}}}}={x_1}+1\\ \frac{a}{{{e^{x_2}}}}={x_2}+1\end{array}\right.$，所以$（{x_1}+1）{e^{x_1}}=（{x_2}+1）{e^{x_2}}$…（8分）
設(shè)f（x）=（x+1）e^x，則f（x₁）=f（x₂）．f'（x）=（x+2）e^x，
當(dāng)x＜-2時，f'（x）＜0，當(dāng)x＞-2時，f'（x）＞0；
所以f（x）在（-∞，-2）單調(diào)遞減，在（-2，+∞）單調(diào)遞增．
因為x₁≠x₂，不妨設(shè)x₁＜-2，x₂＞-2．
設(shè)g（x）=f（x）-f（-4-x），則g'（x）=f'（x）+f'（-4-x）=（x+2）e^x（1-e^-2（2+x）），
當(dāng)x＞-2時，g'（x）＞0，g（x）在在（-2，+∞）單調(diào)遞增，
所以g（x）＞g（-2）=0，所以當(dāng)x＞-2時，f（x）＞f（-4-x）．…（14分）
因為x₂＞-2，所以f（x₂）＞f（-4-x₂），從而f（x₁）＞f（-4-x₂），
因為-4-x₂＜-2，f（x）在（-∞，-2）單調(diào)遞減，所以x₁＜-4-x₂，即x₁+x₂＜-4．…（16分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，屬于中檔題．