Question

20．在△ABC中，點D在AB上，CD平分∠ACB，若AC=2，BC=1，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{3}$，則AB的長為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠ACD=θ，根據(jù)向量的數(shù)量積可得CDcosθ=$\frac{1}{3}$，設(shè)D到BC，AC的距離為x，利用角平分線的性質(zhì)求出BD，AD，列出方程即可得出x，從而求出AB．

解答 解：設(shè)∠ACD=∠BCD=θ，
則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$）$•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}$=2CDcos（π-θ）
+CDcosθ=-CDcosθ，
∴-CDcosθ=-$\frac{1}{3}$，即CDcosθ=$\frac{1}{3}$，
過D作DE⊥BC，DF⊥AB，則CE=CF=$\frac{1}{3}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$，AF=$\frac{5}{3}$．
設(shè)DE=DF=x，則BD=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}$，AD=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{25}{9}}$，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{25}{9}}}=\frac{1}{2}$，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=3BD=3$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}$=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用，三角形中的幾何計算，屬于中檔題．