Question

如圖所示，曲線段OMB是函數(shù)f（x）=x²（0＜x＜60）的圖象，BA⊥x軸于A，曲線段OMB上一點M（t，f（t））處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q，
（1）試用t表示切線PQ的方程；
（2）試用t表示出△QAP的面積g（t）；若函數(shù)g（t）在（m，n）上單調遞減，試求出m的最小值；
（3）若S_△QAP∈[

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4

，64]試求出點P橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)在切點處的導數(shù)與切線斜率的關系求出切線的斜率，又切線PQ過切點，從而求得切線方程．
（2）根據(jù)切線方程求出P，Q點的坐標，從而求出PA，QA的長度，這樣就可求出△QAP的面積，然后通過求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)符號找出g（t）的單調遞減區(qū)間，從而求得m的最小值．
（3）分別求出S_△QAP在（0，4）和（4，6）上的取值范圍，并根據(jù)S_△QAP在（0，4），（4，6）上的單調性及g（1）=

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4

，g（4）=64求出S_△QAP∈[

121

4

，64]時t的取值，從而求出點P橫坐標的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=2x，M（t，t²）；
∴過點M的切線PQ的斜率為：2t；
∴切線PQ的方程為：y=2tx-t²．
（2）由（1）可求得，P（

t

2

，0），Q（6，12t-t²）；
∴g（t）=

1

2

(6-

1

2

t)(12t-t2)=

t3

4

-6t2+36t（0＜t＜6）；
g′（x）=

3t2

4

-12t+36，令g′（x）＜0得：4＜t＜6；
∴g（t）在（4，6）上單調遞減，∴m的最小值為4．
（3）由（2）知，g（t）在（4，6）上遞減，S_△QAP∈（g（6），g（4））=（54，64）；
令g′（t）＞0，得0＜t＜4，∴g（t）在（0，4）上遞增，∴S_△QAP∈（g（0），g（4））=（0，64）；
又g（1）=

121

4

，g（4）=64；
∴g（t）∈[

121

4

，64]時，t∈[1，6），∴

t

2

∈[

1

2

，3)；
∴點P橫坐標的取值范圍是[

1

2

，3)．

點評：考查函數(shù)在切點處的導數(shù)與切線斜率的關系，函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調性的關系，直線的點斜式方程，注意第三問要分別在（0，4）和（4，6）上找t的取值范圍．